Née à South Shields, anglaise de descendance écossaise, beaucoup de ses ancêtres étaient des ingénieurs, surtout dans la navigation. Son père, qui eu une influence majeure dans sa vie, était ingénieur naval, avant de se mettre en retraite et se déplacer de South Shields à Welwyn Garden City.
Elle est issue d'une grande famille, avec deux frères, John et David et quatre soeurs Eliza (Lila), Margaret (Darge), Helen (Nellie) et Shela. Flora, Lila et Darge sont restées célibataires.
Très tôt, son père découvre que Flora a des talents dans la récitation, et à l'age de 6 ans elle a débuté les concours de récitations. Elle grandit avec l'habitude de gagner et était très dépitée lorsqu'elle perdait. Elle fait ses études à la Palmers Green High School au nord de Londres.
Elle a joué jusqu'à l'âge de 80 ans, avec notamment une participation dans la super-production
A Tale of Two Cities (dans le rôle de Miss Pross) pour la télévision américaine. Elle apparaitra aussi à la télévision britannique. Elle jouera des pièces dans le West End telles que Ring Round the Moon, L'Importance d'être Constant et Les Trois Soeurs.
Robson fait ses débuts en 1921, à l'âge de 19 ans. De grande taille (1,78 m), mais n'ayant pas de côté glamour pour les rôles féminins principaux (avec un grand front, une grande bouche et un nez imposant), elle se spécialise dans des rôles de personnalité, notamment celle de la reine Elizabeth I dans L'Invincible Armada (1937) et L'Aigle des mers (1940).
A l'âge de 32 ans, Robson joue l'impératrice Elizabeth dans le film d'Alexander Korda The Rise of Catherine the Great (1934). Elle est nommée dans la catégorie oscar de la meilleure actrice dans un second rôle à la cérémonie des Oscars pour son rôle d'Angelique Buiton dans L'Intrigante de Saratoga (1945). Après la guerre, elle apparaît dans Holiday Camp (1947), Le Narcisse noir (1947), Goodtime Girl (1948), Frieda (1947) et enfin dans Dead Lovers (1948).
Ses rôles de «méchantes» se limitent à la dame de coeur dans le film de 1972 Alice au pays des merveilles, Livia dans I, Claudius (1937), Ftatateeta dans César et Cléopâtre (1945), et Miss Milcrist dans Meurtre au galop (1963).