Fils d'un commerçant et d'une secrétaire, François Chaumette décroche son baccalauréat de philosophie puis devint élève de René Simon, au Conservatoire de Paris. Il y rencontre
Michel Piccoli, dont il conservera l'amitié jusqu'à sa mort.
C'est par une figuration que François Chaumette débute, en 1942, au cinéma, dans
Les Visiteurs du soir de Marcel Carné. Il est particulièrement connu pour ses rôles dans des feuilletons historiques à la télévision. Il prêta également sa voix à Dark Vador dans la version française de
Star Wars, épisode IV : Un nouvel espoir et au super-ordinateur HAL 9000 dans 2001, l'Odyssée de l'espace.
Il fait l'essentiel de sa carrière de comédien à la Comédie-Française où il entre en 1957. Nommé 435eSociétaire le 15 septembre 1960, il prend sa retraite le 31 décembre 1987 et est fait sociétaire honoraire le 1er janvier 1988.
Il meurt au centre médicochirurgical de la porte de Choisy à Paris, le 27 février 1996, des suites d'un cancer.
Frère de
Monique Chaumette, il avait épousé la comédienne Paloma Matta, avec laquelle il eut trois enfants : Sarah, comédienne, Thomas, gérant de société, et Marie, médecin.