Stevenson est née à Kelvedon, Essex, en Angleterre. Elle est la fille de Virginia Ruth (née Marshall), une enseignante, et du père Michael Stevenson Guy, un officier de l'armée britannique. Tous les deux ans, la famille s'installait dans un nouveau lieu à cause du métier de monsieur Stevenson. Juliet a fréquentée l'école de Berkshire Hurst de L'Essex. Puis elle est allée étudier à l'université Royal Academy of Dramatic Art (RADA) de Londres. Juliet faisait partie des meilleures élèves. Cela la conduit à une carrière théâtrale à partir des débuts des années 1980. Stevenson vit avec l'Anthropologue Hugh Brody, son partenaire depuis 1993. Le couple a deux enfants, tous deux nés à Camden, Londres: Rosalind Hannah Brody (né en 1994) et Gabriel Jonathan Brody (né en fin d'année 2001). Elle est athée, mais se considère comme une personne spirituelle et superstitieuse. En 1992, elle est apparue dans une émission politique pour le Parti travailliste. Elle a été le porte-parole du vaccin ROR dont la recherche a été basée par des échantillons de douze enfants.
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