Richard Curtis est né en 1956 en Nouvelle-Zélande, mais a grandi dans diverses parties du monde, et notamment à Manille (Philippines) et Stockholm (Suède) car son père, important dirigeant de la firme Unilever, était souvent muté pour des raisons professionnelles.
Il est arrivé en Grande-Bretagne à l'âge de onze ans, et a fait des études d'anglais (langue et littérature) à l'université d'Oxford. C'est là qu'il a rencontré celui qui deviendra son partenaire d'écriture privilégié, Rowan Atkinson. Leur carrière commence sur la BBC-2, chaîne pour laquelle ils écrivent la série Not the Nine O'Clock News, après avoir été remarqués lors d'une performance donnée au Festival d'Édimbourg. Si le souhait de Richard Curtis était au départ de devenir acteur (il ne s'est tourné vers l'écriture que pour pouvoir s'écrire des rôles), son succès en tant que scénariste s'est vite révélé. Ainsi, le duo continue avec l'écriture de la série Blackadder, interprétée par Rowan Atkinson, qui a été primée en Grande-Bretagne ainsi qu'aux États-Unis (un épisode a spécialement été écrit pour être diffusé au London Millenium Dome pour le passage à l'an 2000). C'est également ensemble qu'ils ont créé le personnage de Mister Bean, et Richard Curtis a écrit plusieurs épisodes de la série.
Dans les années 1980, il commence à écrire pour le cinéma. Le premier film important dont il écrit le scénario est The Tall Guy, qui est aussi le premier rôle au cinéma d'Emma Thompson, aujourd'hui célèbre actrice britannique. Ce film marque aussi le début de ce qui deviendra le genre de prédilection du scénariste : la comédie romantique. Mais le succès international n'arrive qu'en 1994 avec Quatre mariages et un enterrement, à l'époque film le plus rentable du cinéma par rapport à sa mise de départ (il a depuis été battu par Le Projet Blair Witch). Ce film est aussi la première collaboration de Curtis et de Hugh Grant, devenu depuis son acteur « fétiche ». Enchaînant les succès commerciaux au fil des ans, il passe en 2003 derrière la caméra et réalise
Love actually.
À nouveau en 2009, Curtis use de ses talents de réalisateurs pour réunir Philip Seymour Hoffman, Nick Frost, Bill Nighy et Rhys Ifans dans Good Morning England, comédie racontant l'histoire de Radio Rock, une des nombreuses stations de radio pirates des années 1960 en Grande-Bretagne. Il s'agit de sa deuxième collaboration avec Bill Nighy et Emma Thompson, qui avaient joué dans Love Actually.
Richard Curtis vit à Londres, il est marié à Emma Freud, présentatrice de télévision en Angleterre, et arrière-petite-fille de Sigmund Freud. Ils ont trois enfants.