Né à Paris d'un père parisien et d'une mère provençale, Claude Véga fait de piètres études commerciales en compagnie de François Truffaut. Après trois ans d'études d'art dramatique, il débute le jour même de son audition au Liberty's en compagnie de Gilbert Bécaud,
Jean Richard, Mick Micheyl.
Pendant son service militaire, on donne à Claude Véga la permission de débuter au music-hall Bobino. Sa notoriété grandissante lui permet d'assurer des représentations dans différents pays.
En 1958 et en 1961, il est à l'affiche des premières parties des spectacles de
Charles Trenet, d'Édith Piaf et enfin de Joséphine Baker à l'Olympia. Il commence en parallèle une carrière au théâtre en reprenant le rôle de François Périer dans la pièce « Les J3», et obtient plusieurs rôles au cinéma : Paris-Music-Hall (1957) avec
Charles Aznavour; La marraine de Charley (1959) avec
Fernand Raynaud; Tout l'or du monde (1961) ; Les Héritiers avec
Roger Pierre et
Jean-Marc Thibault; Le Chevalier de Pardaillan (1962) avec
Gérard Barray; Domicile conjugal (1969) avec François Truffaut.
Il revient sur scène au théâtre de Bobino avec Juliette Gréco, puis trois tournées consécutives avec Nana Mouskouri. Il tourne à travers la France, l'Allemagne et la Belgique.
Du côté de la télévision, Edwige Feuillère en 1968, puis
Maria Callas, en 1969, le demandent pour l'émission L'Invité du dimanche. Il est un habitué des Top de Maritie et Gilbert Carpentier. Parmi les plus fameux auxquels il participe :
Sacha Distel, Jacques Chazot,
Jacqueline Maillan,
Charles Aznavour, Dalida, Nana Mouskouri et surtout le Top à Claude Véga (du 27 avril 1974) qui obtient un taux d'écoute de 70 % et est diffusé deux fois la même année.
Il revient au théâtre en 1974 dans une pièce de
Jean-Michel Ribes (Odyssée pour une tasse de thé), puis part de nouveau en tournée en 1977 et 1978 et intervient régulièrement à la télévision.
Dans les années 1980, il participe aux émissions de télévision de Danièle Gilbert, de
Christian Morin, de Guy Lux, de Patrick Sébastien et enfin de Jean-Pierre Foucault
Il joue par la suite dans diverses pièces de théâtres en 1990, 1991, 1994, 1995, 1996, 1998 et 1999.
En 2008, Claude Véga sort un CD d'imitations des années 1950 et achève l'écriture d'un livre de souvenirs sous forme d'anecdotes illustrées par lui-même.
Il a été nommé officier dans l'Ordre des Arts et des Lettres en janvier 2010 .