En novembre 1941, il entre au Centre de jeunesse du spectacle à Paris dont le directeur est
Raymond Rognoni. L'audition des lauréats du concours de fin d'année 1941-1942 a lieu le 5 juin 1942, avec entre autres Paul-Émile Deiber, Gina Celdac, Pierre Gallon, Françoise Vitrant, Noëlle Fougères, Cécile Paroldi et Jean-Jacques Dreux.
En 1943, il s'inscrit au Conservatoire national supérieur d'art dramatique, dans la classe d'
André Brunot. L'année suivante, il fréquente le Centre d'art dramatique de la rue Blanche où le metteur en scène
Julien Bertheau lui fait faire ses premières apparitions sur scène, comme figurant d'abord à la Comédie-Française dans La Reine morte d'Henri de Montherlant, puis dans des rôles plus consistants.
Août 1944 le voit entrer dans une période de turbulences. Il fréquente en effet à cette époque la comédienne Florence Luchaire, une des filles de Jean Luchaire, directeur du journal collaborationniste Les Nouveaux Temps, lorsque ce dernier quitte précipitamment Paris à la veille de sa libération, abandonnant femme et enfants. Arrieu décide d'aider ceux-ci à quitter à leur tour la capitale, direction le Brenner Park Hôtel à Baden-Baden (où il croise Jean Hérold-Paquis qui le qualifie de « sorte d'éphèbe égyptien, que d'aucuns disaient danseur »), puis Sigmaringen où ils retrouvent Jean Luchaire qui exerce les fonctions de commissaire à l'information dans la Commission gouvernementale française pour la défense des intérêts nationaux animée par Fernand de Brinon, et dirige le quotidien La France, journal officiel destiné aux exilés collaborationistes. Pendant leur séjour outre-Rhin, Florence Luchaire tombe enceinte, ce qui cause un scandale dans la colonie française en Allemagne ainsi que le relate Louis Ferdinand Céline dans son ouvrage D'un château l'autre.
Lors de la chute du gouvernement en exil en avril 1945, il fuit vers la frontière suisse avec les Luchaire et Marcel Déat dans la voiture de Brinon « empruntée » pour l'occasion, mais le groupe est arrêté à Merano à la mi-mai 1945 et livré aux Français par les Américains. Interné au camp d'Écrouves (Meurthe-et-Moselle), René Arrieu est acquitté par la commission d?épuration du théâtre qui reconnaît le caractère extra-politique de son « escapade ».
En 1946, René Arrieu remonte sur scène, toujours grâce à Julien Berthau, dans les différents festivals d'été organisés dans le sud de la France. Il se voit ainsi confier le rôle-titre de Britannicus et celui de Curiace dans Horace représentés au Théâtre antique de Fourvière, suivis en 1947 de Pyrrhus dans Andromaque et en 1948 du rôle-titre dans Polyeucte.
Il acquiert très vite une réputation de tragédien et se produit en tournée avec différentes troupes, en France (Chorégies d'Orange, théâtre des Célestins) comme à l'étranger (Belgique, Suisse, Tunisie, Maroc, etc.) dans un répertoire classique (Jean Racine, Pierre Corneille, Shakespeare) et moderne (
Jean Giraudoux,
Jean Anouilh, Cocteau). Il épouse en 1949 la comédienne Ketty Albertini.
En 1954, il alterne au cours d'une tournée de deux mois le rôle de Mesa dans Partage de midi de Paul Claudel et La Dame aux camélias d'Alexandre Dumas fils sous la direction de
Jean-Louis Barrault, suivie en 1955-1956 d'une tournée de quatre mois avec Bérénice.
Il est engagé en novembre 1957 comme pensionnaire à la Comédie-Française où il fait ses débuts dans le rôle-titre de Bajazet. S'ensuivent durant près de 25 ans de très nombreux rôles tels que Éghiste dans Électre de
Jean Giraudoux, Don Salluste dans Ruy Blas de Victor Hugo, Astrov dans Oncle Vania, d'Anton Tchekhov ou Théramène dans Phèdre. Il épouse en 1967 la comédienne Alberte Aveline entrée comme pensionnaire l'année précédente. Il est nommé sociétaire en 1970.
Parallèlement à sa carrière sur les planches, il participe à de nombreuses émissions télévisées (dramatiques, séries, téléfilms) et participe à de très nombreux doublages, prêtant sa voix notamment à
Henry Fonda,
Charlton Heston,
Lee Marvin,
James Stewart ou encore
Burt Lancaster.
Il meurt d'une embolie cérébrale le 6 juin 1982 à l'âge de 58 ans. À l'instar de
Jean Yonnel, il fut l'un des rares tragédiens en titre du Théâtre-Français.