Robert Coote débute enfant en 1919 au théâtre, dans son pays natal (il effectuera aussi des tournées en Afrique du Sud et en Australie), participant notamment à des opérettes. Entre 1953 et 1979, à Broadway (New York), il contribue à des pièces et comédies musicales, dont My Fair Lady -- dans le rôle du Colonel Pickering, qu'il crée en 1956, puis reprend à Londres en 1958, et de nouveau à Broadway en 1976 (dans l'
adaptation au cinéma de 1964, Pickering est joué par
Wilfrid Hyde-White) --. Il collabore également à un autre grand succès de la comédie musicale à Broadway, Camelot (créée en 1960).
Au cinéma, Robert Coote figure dans un premier film britannique en 1931. Par la suite, il se partage entre des productions britanniques (ainsi,
Une question de vie ou de mort du tandem
Powell-
Pressburger, en 1946) et américaines, jusqu'à un dernier film en 1973. Entre autres, il interprète Aramis en 1948, dans
Les Trois Mousquetaires, avec
Gene Kelly et
Lana Turner, ou encore Fritz von Tarlenheim en 1952, dans Le Prisonnier de Zenda, avec
Deborah Kerr et
Stewart Granger.
À la télévision, il apparaît dans des téléfilms et séries, à partir de 1952. Sa dernière prestation est dans la série américaine L'Homme à l'orchidée, en 1981.